Бєлка Дмитро Олександрович,
студент 4 курсу, спеціальність «Економічна кібернетика»
Науковий керівник: Аверкина Марина Федорівна,
доктор економічних наук, професор кафедри економіко-математичного моделювання та інформаційних технологій Національного університету “Острозька академія”

Моделі прогнозування футбольних матчів

Стаття присвячена прогнозуванню футбольних матчів в Україні. В статті розкрито питання спортивних подій, як елементу ігрового бізнесу, наведено приклади підходів до різноманітних моделей футбольних ставок. Розроблено модель прогнозування футбольних матчів. На основі результатів моделей наведено напрями подальших досліджень.

Ключові слова: тоталізатор, ставка, прогноз, футбольний матч, турнірна таблиця.

The article is devoted to the prediction of football matches in Ukraine. The article deals with sports events as an element of the game business, examples of approaches to various models of football bets are given. The model of forecasting of football matches is developed. Based on the results of the models, the ways of further research are presented.

Keywords: sweepstakes, bet, forecast, football match, tournament table.

Статья посвящена прогнозированию футбольных матчей в Украине. В статье раскрыты вопросы спортивных событий, как элемента игрового бизнеса, приведены примеры подходов к различным моделям футбольных ставок. Разработана модель прогнозирования футбольных матчей. На основе результатов моделей приведены пути дальнейших исследований.

Ключевые слова: тотализатор, ставка, прогноз, футбольный матч, турнирная таблица.

Постановка проблеми. На сьогодні, через ряд об’єктивних причин, одним з недостатньо досліджених, і в той же час виключно актуальним напрямком є прогнозування результатів футбольних матчів. Це завдання може слугувати не лише цікавим різновидом сучасних реальних задач оцінки та прийняття рішень, а й відмінним фундаментом для тестування різних методів прогнозування результатів процесу в умовах обмеженого статистичного матеріалу.

Аналіз останніх досліджень та публікацій. Прогнозуванням футбольних матчів широко цікавляться як вітчизняні, так і зарубіжні науковці, В. М. Кулик, Т. О. Коротєєва, які розробляли алгоритм прогнозування результатів футбольних матчів на основі нейронних мереж, Л. В. Бехтер, Н. И. Клевец, які застосовували в своїх моделях Кваліметричний метод, а також С. Мохаммад Арабзад, Мі Тайебі Араггі, Саді-Нежад Сохіль, Ноошин Гофрані, що писали наукову роботу по даній темі.

Мета статті. Мета статті полягає у розкритті феномену ставок на футбольні матчі та у розробці моделі прогнозу результатів футбольних матчів і турнірної таблиці.

Виклад змісту досліджень. Прогнозування футбольних матчів базується на тоталізаторі. Тоталізатор — це різновид азартної гри, де учасник (гравець) укладає парі або суперечка на можливий результат тієї чи іншої події. За великим рахунком спортивний тоталізатор представлений великою кількості гравців. Але досягти певного успіху в грі на спортивному тоталізаторі можуть лише гравці, які бездоганно знають стратегії гри, які мають багаж необхідних знань в області спорту і майстерно використовують (поєднують) ці критерії [2].

Прибутковий, для гравців, спортивний тоталізатор будується на математичному аналізі і передбачає регулярні математичні розрахунки. В реальності все це виглядає наступним чином: букмекери виставляють свої коефіцієнти (котирування) на спортивні події; гравець робить свій аналіз спортивної події, проводить відповідні розрахунки, визначає суму ставки і робить свій прогноз [2].

При цьому спортивний тоталізатор має одну особливість, ставка тут робиться безпосередньо на результат спортивної події, але не проти самого букмекера, а проти ймовірності настання тої чи іншого спортивної події. А ось якраз на розрахунок цих самих котирувань для спортивного тоталізатора букмекери і направляють більшу частину свого потенціалу: задіюють чималі кошти і величезні ресурси [2].

Розглянемо підходи до моделювання різноманітних моделей щодо прогнозу футбольних матчів.

1)прогнозування результатів футбольних матчів за допомогою машини опорних векторів:

1. Постановка задачі.

Задача синтезу моделі прогнозування результатів футбольного матчу може бути поставлена, як пошук функціонального відображення виду:

X = ( х₁, х₂ ,…, х_n ) → y ∈ { d₁, d₂, d₃},                                                                      (1)

де x – вектор факторів впливу, таких як: рівень команди, погодні умови, місце проведення матчу, результати минулих поєдинків тощо;

y – результат футбольного матчу, якій оцінюється: d₁– «перемога команди

господаря поля», d₂ – «нічия» і d₃ – «перемога гостьової команди».

Відповідно до потреб методу SVM постановка задачі  може бути модифікована як:

X = ( х₁, х₂ ,…, х_n ) → y ∈ { -1, 1 },                                                                            (2)

де x – як і раніше, вектор факторів впливу;

y – результат футбольного матчу, що оцінюється як: -1 – “команда господар поля не переможе” та 1 – “гостьова команда не переможе”[3].

2. Вибір факторів впливу.

При будь-якому прогнозуванні різні особи, що приймають рішення, можуть обирати різні фактори впливу. Множина факторів впливу обирається особою, яка приймає рішення, як правило, суб’єктивно, хоча і існують деякі загальні правила вибору таких факторів. В роботі будуть враховуватися такі фактори впливу [3]:

x₁ – різниця втрат провідних гравців, що розраховується як кількість травмованих або дискваліфікованих гравців команди господаря поля мінус кількість таких гравців гостьової команди [3];

x₂ – різниця ігрових динамік команд, що розраховується як кількість здобутих очок командою господарем поля за останні п’ять ігор мінус кількість здобутих очок гостьовою командою за останні п’ять ігор [3];

x₃ – різниця в класі, що розраховується як різниця місць в турнірній таблиці, які займають команда господар поля та гостьова команда [3];

x₄ – фактор свого поля, що розраховується як HP HG -GP GG , де HP – кількість очок, що здобула команда господар поля вдома в даному чемпіонаті; HG – кількість зіграних домашніх ігор командою господарем поля в даному чемпіонаті; GP – кількість очок, що здобула гостьова команда в даному чемпіонаті на виїзді; HG – кількість зіграних ігор на виїзді гостьовою командою в даному чемпіонаті [3];

х₅ – показник персональних зустрічей команд, що розраховується як різниця голів забитих командою господарем поля та гостьовою командою в персональних зустрічах за останні 10 чемпіонатів України. [3]

Наведені фактори не містять конфіденційної інформації, тому для особи, що приймає рішення, не є важкою справою визначити значення цих факторів перед початком будь-якої зустрічі [3].

3. SVM-алгоритм.

Як передбачалося в розділі 3, наявними початковими даними є навчальна вибірка

S = {( x₁, y₁),…,( X_n , Y_n )}                                                                                 (3)

 в якій кожна точка  x_i = ( x_i1 , x_i2 ,…, x_in ) належить до R_n, а y_i ∈ {-1, 1}  вказує на клас, якому відповідає точка  x_i . Метою є визначення функції:

f (x) = w × f (x) + b                                                                                               (4)

де w = (w₁, w₂, …, w_n) та b – параметри розділяючої гіперплощини;

ф(x) = (ф₁(x), …, ф_m (x))                                                                                      (5)

відображення з R_n в новий факторний простір R_m . Це типове відображення, що застосовується в машинах, що навчаються, з використанням зерняткової функції. Відповідно до статистичної теорії навчання, управління генералізуючими властивостями вирішальної функції необхідно здійснювати через розмірність Вапніка-Червонєнкіса шляхом мінімізації структурного ризику [3].

2) Дослідження Київського національного університету технологій та дизайну.

1. Постановка завдання.

Алгоритм прогнозування є дуже складним і складається з двох частин: моделі аналізу та самої моделі прогнозування. Проводити дії по аналізу і прогнозуванню дуже складно і часовитратно. Тому такі завдання перекладаються на спеціальні програми моделювання статистики. В результаті виникла потреба у створенні програми універсального моделювання і дослідженні та створенні алгоритму аналізу з послідуючим прогнозуванням і видачею результатів. Дана програма правильно прогнозує результати футбольних поєдинків з ймовірністю 0,5 – 0,65 і рахунок з ймовірністю 0,10 – 0,15 [4].

2. Основна частина

Прогнозування здійснюється за трьома алгоритмами, в основі яких лежить:

• Рейтинг команд. Відображає величину впливу команди на результат матчу. Рейтинг розраховується автоматично, як прогнозований % набраних очок в матчах з деякою еталонної командою, що має рейтинг 50.
• Алгоритм універсального моделювання, що враховує чинники, які найбільш сильно впливають на результат. Цей алгоритм реалізує перший метод. В якості факторів впливу розглядаються ті чинники, вплив яких на результат матчу вище порогового.
• Алгоритм універсального моделювання, який враховує всі фактори впливу.

По завершеним футбольним поєдинкам програма формує статистичні дані. За отриманими даними розраховує вплив кожного з факторів, і по впливу сукупності факторів прогнозує результат наступних матчів.

Фактори, які впливають на результат футбольних матчів, використанні в програмі (таблиця 1).

                   Таблиця 1

Фактори, що впливають на результат футбольних матчів

№	Фактор	Пояснення	Значення
1.	Рейтинг команд	Різниця в рейтингу
2.	Не пропускала м’я-чі в попередніх ма-тчах	Скільки останніх матчів не пропускала ні одного м’яча
3.	Забивала м’ячі в попередніх матчах	Скільки останніх матчів забивала
4.	Остання гра	Кількість очок набраних в останній грі	0-2
5.	Останні 3 гри	Кількість очок набраних в останніх 3 матчах	0-6
6.	Останні 5 матчів	Кількість очок набраних в останніх 5 матчах	0-10
7.	Пропустила м’ячі в попередній грі	Кількість пропущених м’ячів в попередній грі	0-10
8.	Забито м’ячів в по-передній грі	Кількість забитих м’я- чів в попередній грі	0-10
9.	Різниця м’ячів в по-передній грі	Різниця забитих і пропу-щених м’ячів в попере- дній грі	-10 -+10
10.	Важливість матчу для команди	Важлива чи ні гра для команди	Так / Ні
11.	Відпочинок	Кількість ігор, де коман-да не програвала	1-12

          Примітка: в моделі прийнято: перемога – 2 очка, нічия – 1 очко, поразка – 0 очок.

В основі прогнозування результатів футбольних матчів лежить розрахунок рейтингу команд і розрахунок впливу факторів на результати матчів. Рейтинг команд розраховується за наступним алгоритмом. Нехай команді K_j призначений початковий рейтинг r_j і в наступному матчі вона зустрічається з командою K_s з рейтингом r_s. Рейтинг команд визначає відсоток очок, які повинні вони набрати при зустрічі з еталонною командою (з рейтингом 50). Тоді ймовірність набору одного очка визначається за формулою :

                                  p_j = r_j /100;  p_s = r_s /100,                          

де p_j – прогнозована ймовірність набору 1-го очка командою K_j , в матчах з командою, рейтинг якої дорівнює 50; де p_s – прогнозована ймовірність набору 1-го очка командою K_s , в матчах з командою, рейтинг якої дорівнює 50 [4].

При розробці моделі я звертав свою увагу на простоту і водночас на її ефективність. Вирішив будувати свою модель на основі методу зваженої суми показників для прогнозування футбольних матчів. В основі моєї моделі аналітик- в даному випадку я, перш за все повинен обрати ті параметри/фактори, які вливатимуть на матч.

Доцільно вибрати для оцінки такі параметри, збір статистичної інформації  яких не був би скрутним. У той же час дані показники повинні мати високий ступінь важливості для рейтингу команди. Врахувавши вищенаведені фактори, я зупинився на виборі наступних параметрів:

1. Місце команди в турнірній таблиці.
2. Кількість пропущених м’ячів*.
3. Поспіль матчів, в яких пропускали голи.
4. Набрано очок*.
5. Кількість забитих м’ячів*.
6. Кількість ударів по воротах**.
7. Кількість ударів в створ воріт**.
8. Кількість кутових**.
9. Відсоток володіння м’ячем**.
10. Днів відпочинку.
11. Поспіль матчів, в яких забивали голи.
12. Домашній матч.

якщо домашній -1, на виїзді-0

* – показник розраховується, як сума значень за останні 5 матчів

** – показник розраховується, як середнє значення за останні 5 матчів

Серед вищенаведених показників є як стимулятори, так і дестимулятори. Стимуляторами називаються показники, збільшення яких призводить до збільшення рейтингу команди, а дестимулятори – це показники, зменшення яких призводить до зростання рейтингу футбольного клубу. Відзначу, що серед виділених мною показників дестимуляторами є наступні:

1. Місце команди в турнірній таблиці
2. Кількість пропущених м’ячів
3. Поспіль матчів, в яких пропускали голи

Всі інші показники являються стимуляторами.

Кожен з перерахованих вище дванадцяти показників впливає на рейтинг команди в певній мірі, причому ступінь ця різна. Для того щоб відобразити цю відмінність в моделі, введемо вагові коефіцієнти. Хочу зазначити, що це аналітична модель, тобто людина має повне право як доповнити додаткові показники ( середня кількість сейвів воротаря) так і вилучити. Також людина, яка матиме цю модель, може на свій розсуд надавати вагу певному фактору, тобто показнику “кількість ударів по воротах”  я надав ваговий коефіцієнт “4”, а можливо б ви надали більшого значення і поставили “5”, або “6”.

1. Кількість пропущених м’ячів*-7
2. Поспіль матчів, в яких пропускали голи-5
3. Набрано очок*-9
4. Кількість забитих м’ячів*-7
5. Кількість ударів по воротах**-4
6. Кількість ударів в створ воріт**-7
7. Кількість кутових**-3
8. Відсоток володіння м’ячем**-3
9. Днів відпочинку -4
10. Поспіль матчів, в яких забивали голи-5
11. Домашній матч-7
12. Місце команди в турнірній таблиці -6

Також для більшої об’єктивності, дані коефіцієнти доцільно коригувати залежно від команд, які беруть участь в матчі. Наприклад, якщо у команди в запасі є висококваліфіковані футболісти, то для неї можна знизити вагу показника “Кількість ударів у футбольні ворота”. Крім того, є команди, які грають домашні зустрічі значно краще, ніж виїзні. У таких випадках ваговий коефіцієнт для параметра “Домашній матч” доцільно було б збільшити.

Тобто зібравши статистичні дані ми формуємо таблицю наступним чином.Під час дослідження аналізовано лише перших 5-ть команд турнірної таблиці, операції ідентичні зі всіма командами, тому для легшого сприйняття і кращого відображення даних, сім команд не беремо до уваги.

   Таблиця 2

Фактичні дані на основі перших 5-ти турів

Показники	Дина-мо	Шах-тар	Ворскла	Олім-пік	Маріу-поль
Місце команди в турнірній таблиці (6)	1	2	3	4	5
Число пропущених м’ячів *(7)	1	4	2	0	4
Поспіль матчів, в яких пропускали голи (5)	0	4	3	0	0
Набрано очок *(9)	13	12	10	10	8
Кількість забитих м’ячів *(7)	11	10	6	5	8
Кількість ударів по воро- тах**(4)	12,6	12,8	10	8	9,2
Число ударів в створ воріт**(7)	6,2	6,2	4,4	3	3,8
Кількість кутових **(3)	6	6,4	5,2	4	5,8
Відсоток володіння м’ячем**(3)	56,4	56,8	49,4	48,6	51,6
Днів відпочинку (4)	8	8	8	8	8
Забивали голи в матчах (5)	3	3	2	2	4
Домашній матч (7)	1	1	1	0	0

Визначившись з показниками і ваговими коефіцієнтами, приступаємо до розрахунку рейтингу команд. Для цього я виконав низку дій:

1. Розрахував відносну вагу показника для кожної команди. Для цього скористався формулою 1 для показників-стимуляторів і формулою 2 для показників-дестимуляторів:

1) Ст = (A/B), де A- дійсне значення( яке виникло на основі збору даних ), B- мій коефіцієнт, який я надав для цього фактору

2) Де Ст = 1- (A/B), де A- дійсне значення (яке виникло на основі збору даних ), B- знайдений коефіцієнт, який я надав для цього фактору.

Таблиця 3

Відносна вага показника для кожної із команд

Показники	Динамо	Шахтар	Ворскла	Олімпік	Маріуполь
Місце команди в турні- рній таблиці (6)	0,83	0,67	0,50	0,33	0,17
Кількість пропущених м’ячів *(7)	0,86	0,43	0,71	1,00	0,43
Поспіль матчів, в яких пропущено голи (5)	1,00	0,20	0,40	1,00	1,00
Набрано очок *(9)	1,44	1,33	1,11	1,11	0,89
Кількість забитих м’ячів *(7)	1,57	1,43	0,86	0,71	1,14
Кількість ударів по воро- тах **(4)	3,15	3,20	2,50	2,00	2,30
Кількість ударів в створ воріт **(7)	0,89	0,89	0,63	0,43	0,54
Кількість кутових **(3)	2,00	2,13	1,73	1,33	1,93
Відсоток володіння м’ячем **(3)	18,80	18,93	16,47	16,20	17,20
Днів відпочинку (4)	2,00	2,00	2,00	2,00	2,00
Забивали голи в матчах (5)	0,60	0,60	0,40	0,40	0,80
Домашній матч (7)	0,14	0,14	0,14	0,00	0,00

Після обчислення відносної ваги показника для кожної команди я об’єдную фактичні та відносні дані для більш точного прогнозу. Потрібно познаходити добутки всіх елементів, тобто (a₁₁*b₁₁, a₂₁*b₂₁…) – знаходимо нові показники для команди Динамо, де а-елементи першої таблиці, b-елементи другої таблиці. Цю операцію потрібно провести для кожної із команд. В таблиці 4 будуть представлені результати добутків фактичних та відносних показників.

Таблиця 4

Результат добутків фактичних та відносних показників

Показник	Динамо	Шахтар	Ворскла	Олімпік	Маріуполь
Місце команди в турнірній таблиці (6)	0,83	1,33	1,50	1,33	0,83
Кількість пропущених м’я-чів *(7)	0,86	1,71	1,43	0,00	1,71
Поспіль матчів, в яких пропускали голи (5)	0,00	0,80	1,20	0,00	0,00
Набрано очок *(9)	18,78	16,00	11,11	11,11	7,11
Кількість забитих м’ячів *(7)	17,29	14,29	5,14	3,57	9,14
Кількість ударів по воро- тах **(4)	39,69	40,96	25,00	16,00	21,16
Кількість ударів в створ во-ріт **(7)	5,49	5,49	2,77	1,29	2,06
Кількість кутових **(3)	12,00	13,65	9,01	5,33	11,21
Відсоток володіння м’ячем**(3)	1060	1075	813	787	887
Днів відпочинку (4)	16	16	16	16	16
Забивали голи в матчах (5)	1,80	1,80	0,80	0,80	3,20
Домашній матч (7)	0,14	0,14	0,14	0,00	0,00

На основі здобутих показників, потрібно кожен із факторів команди помножити на коефіцієнт, який надано йому, і маючи 12 добутків, їх додаємо і отримуємо загальну оцінку команди на основі статистичних даних та вагових коефіцієнтів. Загальні оцінки команд будуть показані в таблиці 5.

Таблиця 5

Обчислювання загальної оцінки команд

Таким чином, моя модель дає загальну оцінку команді на основі її ж показників.  Знайшовши загальну оцінку всіх команд, ми маємо можливість проаналізувати і сказати хто з більшою ймовірністю переможе в цьому матчі.

Таблиця 6

Фактична та змодельована турнірні таблиці станом на 6 тур

Турнірна таблиця станом на 6 тур (не включено)			Турнірна таблиця моєї моделі
640,0096	Динамо	1	Динамо	1	ідеально
617,5024	Шахтар	2	Шахтар	2	ідеально
400,8036	Ворскла	3	Ворскла	3	ідеально
313,6196	Олімпік	4	Маріуполь	4	добре
384,3456	Маріуполь	5	Олімпік	5	добре
205,9616	Верес	6	Зоря	6	задовільно
213,1236	Сталь	7	Сталь	7	ідеально
242,61	Зоря	8	Верес	8	задовільно
70,36	Карпати	9	Олександрія	9	добре
198,5984	Олександрія	10	Зірка	10	добре
87,4896	Зірка	11	Чорноморець	11	добре
75,12	Чорноморець	12	Карпати	12	промах

За заданими параметрами, ваговими коефіцієнтами і даними, моя модель показує наступне: перше, друге, третє і сьоме місця в рейтинговій таблиці, за результатами перших 5-ти турів, вона б виставила б так, як і було насправді. Станом на 6 тур (перші п’ять) Динамо посів перше місце, Шахтар – друге, Ворскла – третє, а Сталь – сьоме. Маріуполь, Олімпік, Олександрію, Зірку та Чорноморець модель  поміняла б місцям, команди  Верес та Зорю перекинула б через одну, помінявши їх місцями. Останнє місце модель присвоїла  команді Карпати. Таблиця результатів шостого туру УПЛ та прогноз моделі представлено у таблиці 7.
                                                                                                                      

Таблиця 7

Результати 6 туру УПЛ

Команда	Результат матчу	Команда	Результат
Чорноморець (75,12)	0:1	Верес (205,9615)	перемога Вереса або нічия	+
Шахтар (617,5024)	2:0	Олімпік (313,6196)	перемога Шахтаря або нічия	+
Зірка (87,4896)	2:1	Зоря (242,61)	перемога Зорі або нічия	–
Карпати (70,36)	0:0	Олександрія (198,5984)	перемога Олександрії або нічия	+
Динамо (640,0096)	4:1	Сталь (213,1236)	перемога Динамо або нічия	+
Ворскла (400,8036)	1:0	Маріуполь (384,3456)	перемога Ворскли або нічия	+

Як видно з даних, модель передбачила результат п’яти із шести матчів, що є доволі непоганим результатом. Тому її можна застосовувати у цьому вигляді, і за бажанням провести надбудови, що лише покращить результат.

Висновок

Враховуючи той факт, що модель показала необхідні результати (передбачила розв’язок п’яти із шести матчів шостого туру Української Прем’єр ліги), надала місця в турнірній таблиці, за своєю оцінкою, чотирьом із дванадцяти можливих команд таким чином, що вони збігалися з фактичними. П’ять команд виставила з похибкою в одне місце ( прикладом слугуватиме команда Олімпік, яка у фактичній турнірній таблиці посідала четверте місце, а модель поставила її на п’яте). Ще дві команди з похибкою в два турнірних місця, і лише одну команду, вона виставила з похибкою в три турнірних місця. Це може пояснюватися тим, що футбол- перш за все гра, на яку впливають безліч факторів різного роду, як від емоційного, психологічного станів, так до хвороби гравця, чи погодних умов.

Описавши вище результат побудованої моделі, можемо зробити висновок, що дану математичну модель можна використовувати для прогнозування результатів футбольних матчів. Однак варто брати до уваги той факт, що даний підхід має на меті налаштування безпосередньо параметрів моделі аналітиком перед кожним матчем. Злагоджена футбольна команда, зі здоровим атмосферним духом, без психологічних бар’єрів між гравцями, повинна розглядатися аналітиком як окремий індивід, який має більше позитивних сторін. Тим часом як команда, в якої з’явився новий тренер, і він лише в процесі налагодження  мостів між тренером і гравцями, на перший час стає більш загадковою, і вам складніше проаналізувати її загальну картину. Тому провівши аналіз статистичних показників команд і керуючись власним досвідом, прогнозист повинен підібрати вагові коефіцієнти, а також, можливо, включити нові параметри для аналізу, а можливо якийсь і виключити. Прогнозист повинен розуміти, що якщо і багато факторів є спільними для всіх команд, то їхня вага може доволі сильно коливатися. Якщо ви знаєте якусь додаткову, таємну інформацію про стан гравця і т.д, ви це все повинні відображати на моделі для більш об’єктивної оцінки команди на даний момент. Також дану модель можна розширювати у параметрах, налаштовувати вагові коефіцієнти під своє бачення. На мою думку, це доволі пластична модель, якій можна, по бажанню, провести надбудови, і вона лише удосконалить свої показники, прогнози.

Список використаних джерел

1. Роберт Хорольський, Юлія Іващенко, Ірина Сергієнко, Назар Бондар, Максим Кузьма, Михайло Коваль, Ірина Сергієнко. Правове регулювання грального бізнесу: європейський досвід, практика в пострадянських країнах, перспективи України. 2016. 138 с.
2. Егор Шваюк. Як грати на тоталізаторі і вигравати. Cтавки на спорт. URL: http://vprognoze.com.ua/stavki-na-sport/yak-grati-na-totalizatori-i-vigravati (дата звернення: 14.02.2019).
3. Штовба С. Д., Вивдюк В.В.  ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВФУТБОЛЬНЫХ МАТЧЕЙ НА ОСНОВЕНЕЧЕТКИХ ПРАВИЛ. 2002. URL : http://www.serhiyshtovba.narod.ru/doc/Shtovba_Vivduk__Football_VMU_2002_1.pdf (дата звернення: 14.02.2019).
4. Колискова О.З., Гайда Б.А. Дослідження та розробка математичного забезпечення для прогнозування спортивних. URL: https://er.knutd.edu.ua/bitstream/123456789/5430/1/20170306_ITNVP_P120-123.pdf. (дата звернення: 14.02.2019).
5. Шурин В. С. Метод взвешенной суммы показателей для прогнозирования футбольных матчей. URL:https://bets.today/ru/articles/weighted-sum-of-indexes (дата звернення: 14.02.2019).